Soal dan Pembahasan Simulasi TKA Resmi Matematika Wajib Jenjang SMA/MA/SMK/MAK/Sederajat

Kita misalkan dulu ya:

• $x$: harga buku satuan * $y$: harga penggaris satuan Karena harga 3 buah buku dan 2 buah penggaris Rp18.000,00, maka persamaannya adalah

$$ 3x + 2y = 18.000. $$

Selanjutnya, karena harga sebuah buku Rp1.000,00 lebih mahal dari sebuah penggaris, maka persamaannya adalah

$$ x = 1.000 + y. $$

Mensubstitusikan persamaan kedua ke persamaan pertama, kita akan mendapatkan

$$ 3(1.000 + y) + 2y = 18.000 $$

$$ 3.000 + 3y + 2y = 18.000 $$

$$ 5y = 15.000 $$

$$ y = 3.000 $$

Mensubstitusikan nilai $y$ ini ke persamaan kedua, kita akan mendapatkan

$$ x = 1.000 + 3.000 = 4.000. $$

Jadi, harga 2 buah buku dan 5 buah penggaris adalah

$$ 2x + 5y = 2(4.000) + 5(3.000) = 8.000 + 15.000 = 23.000 $$

Jawaban: (B) Rp23.000,00

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Kita beri nama garis-garisnya dulu ya, agar lebih gampang menjawab soalnya.

Sekarang, fokus ke sistem pertidaksamaannya. Agar lebih mudah, kita ubah dulu tanda $\leq$ dan $\geq$ menjadi $=$.

Dari tabel di atas, jelas bahwa $x + y = 4$ merupakan garis $A$ dan $x + 3y = 6$ merupakan garis $B$.

Balik lagi ke pertidaksamaannya:

1. daerah $x + y \leq 4$ berada di sebelah kiri/bawah garis $A$ 2. daerah $x + 3y \geq 6$ berada di sebelah kanan/atas garis $B$ 3. daerah $x \geq 0$ berada di sebelah kanan sumbu-$y$ 4. daerah $y \geq 0$ berada di sebelah atas sumbu-$x$ Berikut merupakan arsiran dari daerah-daerah tersebut. Di sini, kita balik arsirannya agar tidak terlalu rame grafiknya.

Jadi, daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah daerah II.

Jawaban: (B) II

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Agar lebih mudah, kita misalkan saja $f(x)$ sebagai $y$. Untuk mencari invers fungsi, kita cukup modifikasi dari $y =$ sesuatu dalam $x$ menjadi $x =$ sesuatu dalam $y$.

$$ y = \sqrt{2x + 3} $$

$$ y^2 = 2x + 3 $$

$$ y^2 - 3 = 2x $$

$$ x = \frac{y^2 - 3}{2} $$

Sekarang, kita ganti $x$ menjadi $f^{-1}(x)$ dan $y$ menjadi $x$.

Oleh karena itu, invers dari fungsi $f$ adalah

$$ f^{-1}(x) = \frac{x^2 - 3}{2} $$

sehingga

$$ f^{-1}(3) = \frac{3^2 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3. $$

Jawaban: (B) $3$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Perhatikan bahwa

$$ (f \circ g)(x) = x^3 - 4x $$

$$ f(g(x)) = x^3 - 4x $$

$$ f(x - 1) = x^3 - 4x $$

Di sini, kalian pasti berpikir untuk mencari $f(x)$, padahal ini sebenarnya tidak perlu. Kalian cukup cocoklogi $x = 3$ pada persamaan di atas agar $f(x - 1)$ menjadi $f(2)$:

$$ f(3 - 1) = 3^3 - 4(3) \implies f(2) = 27 - 12 = 15 $$

Jawaban: (C) $15$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Soal ini lebih mudah jika dikerjakan manual!

• Awal: 2 bakteri * $\dfrac{1}{2}$ hari: 4 bakteri * $1$ hari: 8 bakteri * $1 \dfrac{1}{2}$ hari: 16 bakteri * $2$ hari: mati $1/4$-nya menjadi 12 bakteri, kemudian membelah diri menjadi 24 bakteri.

• $2 \dfrac{1}{2}$ hari: 48 bakteri * $3$ hari: 96 bakteri

Panjang dan lebar dari kotak tersebut nantinya adalah $30 - 2x$. Selain itu, tinggi dari kotak tersebut nantinya adalah $x$. Oleh karenanya, volume kotaknya adalah

$$ V = (30 - 2x)(30 - 2x)x $$

$$ = (900 - 120x + 4x^2)x $$

$$ = 900x - 120x^2 + 4x^3 $$

Untuk mencari volume terbesar, kita turunkan $V$ lalu buat sama dengan 0.

$$ V' = 900 - 240x + 12x^2 = 0 $$

Agar lebih mudah, kita bagi 12 kedua ruas sehingga persamaannya akan menjadi

$$ x^2 - 20x + 75 = 0 $$

$$ (x - 5)(x - 15) = 0 $$

Selanjutnya, kita substitusi $x = 5$ dan $x = 15$ ke $V$ dan cari yang nilainya terbesar.

• $x = 5$: $V = (30 - 2(5))^2 \cdot 5 = 20^2 \cdot 5 = 2.000$ * $x = 15$: $V = (30 - 2(15))^2 \cdot 15 = 0$ Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\text{2.000 cm3}$.

Jawaban: (A) $\text{2.000 cm3}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Soal ini lebih mudah dikerjakan dengan konsep trigonometri pada lingkaran. Ingat bahwa

$$ \sin{A} = \frac{y}{r}, \quad \cos{A} = \frac{x}{r}, \quad \text{dan} \quad \tan{A} = \frac{y}{x}. $$

Pada soal, diketahui bahwa $\sin{A} = \dfrac{1}{a}$. Oleh karena itu, bisa dipilih $y = 1$ dan $r = a$. Perhatikan gambar berikut.

Untuk mencari $\cos{A}$, kita cari terlebih dahulu nilai $x$. Di sini, kita bisa menggunakan Pythagoras:

$$ x^2 + 1^2 = a^2 $$

$$ x^2 = a^2 - 1 $$

$$ x = \pm \sqrt{a^2 - 1} $$

Karena $x < 0$ (di kuadran 2), maka haruslah $x = -\sqrt{a^2 - 1}$.

Jadi, $\cos{A} = -\dfrac{\sqrt{a^2 - 1}}{a}$

Jawaban: (D) $-\dfrac{\sqrt{a^2 - 1}}{a}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Dari diagram, terlihat bahwa peningkatan tertinggi jumlah produksi pakaian terjadi di antara bulan Juni atau November.

Peningkatan Juni: $81 - 18 = 63$ Peningkatan November: $153 - 87 = 66$ Jadi, peningkatan tertingginya terjadi pada bulan November.

Jawaban: (E) November

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Ingat bahwa rumus modus untuk data kelompok adalah

$$ M_O = L + \frac{d_1}{d_1 + d_2} \cdot c. $$

Di sini:

• $L$ batas bawah kelas modus * $d_1$ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya * $d_2$ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya * $c$ panjang kelas Perhatikan tabel berikut.

Jelas bahwa $L = 64 - 0{,}5 = 63{,}5$ dan $c = 3$. Oleh karena itu, modusnya adalah

$$ M_O = 63{,}5 + \frac{3}{3 + 3} \cdot 3 = 63{,}5 + 1{,}5 = 65. $$

Jawaban: (C) $65{,}0$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya grup band putra adalah $\dfrac{6}{10}$.

Sekarang, grup band yang tersisa adalah 9 karena satu grup band sudah diambil sebelumnya.

Pada pengambilan kedua, peluang terambilnya grup band putri adalah $\dfrac{4}{9}$.

Oleh karena itu, peluang terambil grup band putra pada pengambilan pertama dan grup band putri pada pengambilan kedua adalah

$$ \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{15}. $$

Jawaban: (C) $\dfrac{4}{15}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Woilah ini soal bonus loh ya😹

$$ \frac{1}{4} + \frac{\cancel{7}}{\cancel{4}} \times \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{21}^3} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{11}{12} $$

Jawaban: (C) $\dfrac{11}{12}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Langkah Pertama: Memisalkan Variabel

Misalkan $x$ banyak kotak kue bolu yang diproduksi dan $y$ banyak kotak kue brownies yang diproduksi.

Langkah Kedua: Membuat Model Pertidaksamaan

Perhatikan bahwa biaya produksi kue bolu sebesar Rp15.000,00 per kotak dan biaya produksi kue brownies sebesar Rp20.000,00 per kotak. Karena modalnya Rp8.000.000,00, maka model pertidaksamaannya adalah

$$ 15.000x + 20.000y \leq 8.000.000 $$

Dalam kata lain, total biaya produksi kue bolu dan kue brownies maksimal sebesar Rp8.000.000,00.

Selanjutnya, perhatikan bahwa karena Mirna dapat memproduksi paling banyak 500 kotak kue, maka model pertidaksamaannya adalah

$$ x + y \leq 500 $$

Oleh karena itu, jika kita membagi pertidaksamaan pertama dengan 5.000, model pertidaksamaan lengkapnya adalah

$$ \begin{cases} 3x + 4y \leq 1.600 x + y \leq 500 x \geq 0 y \geq 0 \end{cases} $$

Dua pertidaksamaan terakhir ditambahkan untuk menjamin bahwa banyak kue bolu dan kue brownies selalu positif (tidak masuk akal jika banyak kue ada sebanyak negatif).

Langkah Ketiga: Menggambar Daerah Sistem Pertidaksamaan

Agar lebih mudah, kita ganti tanda pertidaksamaan menjadi sama dengan. Juga, kita fokus terlebih dahulu ke dua persamaan pertama:

$$ \begin{cases} 3x + 4y = 1.600 x + y = 500 \end{cases} $$

Sekarang, kita cari titik potong masing-masing persamaan terhadap sumbu-$x$ dan sumbu-$y$.

$$ \begin{array}{rcrclr} 3x & + & 4y & = & 1.600 & 3x & + & 3y & = & 1.500 & - \hline & & y & = & 100 & \end{array} $$

Mensubstitusi nilai $y$ ini ke persamaan kedua, kita dapatkan

$$ x + 100 = 500 \implies x = 400. $$

Oleh karena itu, titik potongnya adalah $E(400, 100)$.

Dari model pertidaksamaan tersebut, gambar daerahnya adalah sebagai berikut:

Dapat dicek bahwa daerah yang memenuhi model pertidaksamaan lengkapnya adalah daerah kuning.

Langkah Keempat: Mencari Nilai Maksimum Laba

Karena persentase laba penjualan kue bolu sebesar 40% dan laba penjualan kue brownies sebesar 35%, maka laba Mirna sebenarnya adalah $40% \cdot 15.000 = 6.000$ untuk kue bolu dan $35% \cdot 20.000 = 7.000$ untuk kue brownies. Artinya, total labanya adalah

$$ L = 6.000x + 7.000y $$

Di sini, kita ingin memaksimalkan $L$ dengan mensubstitusi titik-titik batas (pojok) pada daerah kuning.

Jadi, keuntungan maksimum dari Mirna adalah Rp3.100.000,00 yang dapat diperoleh dari menjual 400 kotak kue bolu dan 100 kotak kue brownies.

Mengecek Pernyataan

Pernyataan pertama SALAH karena seharusnya Mirna harus memproduksi 400 kotak kue bolu.

Pernyataan kedua SALAH karene seharusnya kue bolu lebih banyak daripada kue brownies.

Pernyataan ketiga BENAR.

Jawaban: SALAH, SALAH, BENAR

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Pernyataan 1

Karena $\angle{A} = 70^{\circ}$ dan $\overline{AB}$ sejajar $\overline{DC}$ maka $\angle{D} = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.

Karena $ABCD$ trapesium sama kaki, maka $\angle{A} = \angle{B} = 70^{\circ}$ dan $\angle{D} = \angle{C} = 110^{\circ}$.

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR karena $\angle{BCD} = \angle{C} = 110^{\circ}$.

Pernyataan 2

Karena $\angle{ABD} = 30^{\circ}$ maka

$$ \angle{CBD} = \angle{ABC} - \angle{ABD} = 70^{\circ} - 30^{\circ} = 40^{\circ}. $$

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR.

Pernyataan 3

Perhatikan $\triangle{BCD}$. Karena $\angle{CBD} = 40^{\circ}$ dan $\angle{BCD} = 110^{\circ}$, maka

$$ \angle{BDC} = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}. $$

Oleh karena itu, pernyataan ini SALAH.

Jawaban: BENAR, BENAR, SALAH

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Sebelum mengerjakan, kita misalkan dulu $AD = x$, $BC = y$, dan $DC = z$.

Pernyataan (1) SAJA

Karena luas trapesiumnya 24 maka

$$ \cancel{24}^8 = \frac{(x + y) \cdot \cancel{3}}{2} $$

$$ 16 = x + y $$

Oleh karena itu, keliling trapesiumnya adalah

$$ K = 3 + x + y + z = 3 + 16 + z = 19 + z. $$

Perhatikan bahwa $z \geq AB = 3$. Oleh karena itu, $K \geq 19 + 3 = 22$ Informasi ini masih belum cukup untuk mengetahui apakah keliling trapesiumnya lebih dari 25 atau tidak.

Pernyataan (2) SAJA

Keliling trapesiumnya adalah

$$ K = 3 + x + y + z = 3 + 10 + y + 5 = 18 + y. $$

Perhatikan bahwa $AD \leq BC$ sehingga $x \leq y$. Oleh karena itu, $y \geq 10$ sehingga $K \geq 18 + 10 = 28$.

Informasi ini sudah cukup untuk menjawab apakah keliling trapesiumnya lebih dari 25 atau tidak (faktanya, jawabannya adalah YA).

Jawaban: (B) Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Misalkan tinggi dinding yang disentuh ujung atas tangga adalah $y$. Dengan trigonometri sederhana,

$$ \sin{60^{\circ}} = \frac{y}{6} \implies y = 6 \sin{60^{\circ}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \text{3\sqrt{3} m}. $$

Jawaban: (C) $3\sqrt{3}$ meter

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Misalkan jumlah semua nilai ulangan 17 murid tersebut adalah $\Sigma{x}$. Misalkan juga jumlah semua nilai ulangan 3 murid yang mengikuti ujian susulan adalah $\Sigma{y}$.

Dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan, kita tahu bahwa

$$ 82 = \frac{17\bar{x} + 3\bar{y}}{20} $$

$$ 82 \cdot 20 = 17 \cdot 83 + 3\bar{y} $$

$$ 1640 = 1411 + 3\bar{y} $$

$$ 229 = 3\bar{y} $$

$$ \bar{y} = \frac{229}{3} $$

Pernyataan 1

Karena $\bar{y} = \dfrac{\Sigma{y}}{3}$, maka nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah

$$ \frac{229}{3} = \frac{\Sigma{y}}{3} \implies \Sigma{y} = \frac{229}{3} \cdot 3 = 229. $$

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR

Pernyataan 2

Pernyataan ini BENAR karena $\bar{y} = \dfrac{229}{3} \approx 76.33 > 70$.

Pernyataan 3

Dari pernyataan 1, jika terdapat 2 siswa dengan nilai 100, maka sisanya akan memiliki nilai 29. Artinya, mustahil nilai terendah dari ketiga murid ini kurang dari 29.

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR.

Pernyataan 4

Andaikan sebaliknya berlaku, yakni nilai tertingginya 76, maka jumlah nilai mereka bertiga maksimal adalah $76 \cdot 3 = 228$. Padahal total nilai mereka seharusnya 229. Artinya, mustahil nilai tertinggi dari ketiga murid ini tidak lebih dari 76.

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR.

Pernyataan 5

Pernyataan ini jelas SALAH. Sebagai contoh, jika nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah 69, 80, 80, maka jangkauannya adalah 11 yang kurang dari 72.

Jawaban: (1), (2), (3), (4) BENAR dan (5) SALAH

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Jika kita jabarkan, fungsi $f$ akan berbentuk $f(x) = 4x^2 - 32x + 48$.

Pernyataan 1

Karena $a = 4 > 0$ maka $f$ terbuka ke atas.

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR.

Pernyataan 2

Kita substitusi $f(x)$ dengan $-18$. Dari sini, kita akan mendapatkan persamaan

$$ -18 = 4x^2 - 32x + 48 $$

$$ 0 = 4x^2 - 32x + 66 $$

Diskriminan dari persamaan kuadrat ini adalah

$$ D = (-32)^2 - 4(4)(66) = 32^2 - 32 \cdot 33 < 0. $$

Karena diskriminannya negatif, berarti $f$ tidak memotong garis $y = -18$.

Oleh karena itu, pernyataan ini SALAH.

Pernyataan 3

Misalkan akar-akar dari fungsi kuadrat $f$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Mudah dilihat bahwa $x_1 + x_2 = 8$ dan $x_1 \cdot x_2 = 12$. Artinya, kedua akarnya positif. Selain itu, dari pernyataan 1, $f$ terbuka ke atas. Hal ini menunjukkan bahwa grafik fungsi $f$ tidak mungkin melalui kuadran 3.

Oleh karena itu, pernyataan ini BENAR.

Jawaban: BENAR, SALAH, BENAR

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Karena penggunaan listrik sebulan terakhir lebih banyak dari penggunaan listrik biasanya, berarti secara umum berlaku

$$ f(x) \leq 160.000 $$

$$ 1.350x + 25.000 \leq 160.000 $$

$$ 1.350x \leq 135.000 $$

$$ x \leq 100 $$

Oleh karena itu, seluruh opsi yang kurang dari 100 merupakan opsi yang BENAR.

Jawaban: (1), (2) BENAR dan (3), (4), (5) SALAH

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Soalnya gajelas cik

Untuk $\texttt{A}$, terdapat 26 pilihan huruf.

Untuk $\texttt{B}$, terdapat 25 pilihan huruf (karena huruf yang sama tidak boleh dipakai kembali).

Untuk $\texttt{C}$, terdapat 24 pilihan huruf.

Untuk $\texttt{X}$, terdapat 10 pilihan angka.

Untuk $\texttt{A}$, terdapat 9 pilihan angka.

Jadi, total banyaknya kode akses berbeda yang dapat dibuat adalah

$$ 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 10 \cdot 9 = 1.404.000 $$

Jawaban: (C) $1.404.000$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?