Bank Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Beberapa metode penyelesaian SPLDV adalah menggunakan substitusi, eliminasi, grafik, dan mencoba-coba (bruteforce). Di sisi lain, metode faktorisasi adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat.

Jawaban: (D) metode faktorisasi

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Opsi (A) jelas merupakan SPLDV, meski persamaan kedua hanya terdapat variabel $x$.

Opsi (B) jelas merupakan SPLDV, meski hanya terdapat satu persamaan saja.

Opsi (C) jelas merupakan SPLDV, ini adalah bentuk standarnya.

Opsi (D) BUKAN merupakan SPLDV, hal ini dikarenakan bentuknya TIDAK linear (variabel $x$ dan $y$ tidak boleh berupa pecahan)

Jawaban: (D) $\begin{cases} \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} = 2 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{7} = 1 \end{cases}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Mensubstitusikan opsi (A), kita dapatkan $2 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 10$ (memenuhi).

Mensubstitusikan opsi (B), kita dapatkan $2 \cdot 8 + 3 \cdot (-2) = 10$ (memenuhi).

Mensubstitusikan opsi (C), kita dapatkan $2 \cdot (-4) + 3 \cdot 6 = 10$ (memenuhi).

Mensubsitusikan opsi (D), kita dapatkan $2 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot 2 = 7 \neq 10$ (tidak memenuhi).

Jawaban: (D) $\left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Mensubstitusikan $x = 2$ dan $y = 3$ pada opsi (B), kita akan mendapatkan

$$ 5 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = -2 $$

dan

$$ 6 \cdot 2 + 7 \cdot 3 = 33 $$

Jawaban: (B) $\begin{cases} 5x - 4y = -2 \\ 6x + 7y = 33 \end{cases}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Menjumlahkan kedua persamaan, kita akan mendapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} x & + & y & = & 8 & x & - & y & = & 2 & + \hline 2x & & & = & 10 & x & & & = & 5 & \end{array} $$

Selanjutnya, mengurangi kedua persamaan, kita juga akan mendapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} x & + & y & = & 8 & x & - & y & = & 2 & - \hline & & 2y & = & 6 & & & y & = & 3 & \end{array} $$

Jadi, solusinya adalah $(x, y) = (5, 3)$.

Jawaban: (B) $(5, 3)$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Menjumlahkan kedua persamaan, kita akan mendapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} 3x & - & y & = & 14 & 2x & + & y & = & 1 & + \hline 5x & & & = & 15 & x & & & = & 3 & \end{array} $$

Selanjutnya, kita substitusi $x = 3$ pada persamaan kedua (sebenarnya terserah kalian ingin substitusi ke persamaan yang mana saja, tapi usahakan cari yang bentuknya paling simpel). Di sini, akan didapatkan

$$ 2 \cdot 3 + y = 1 $$

$$ 6 + y = 1 $$

$$ y = -5 $$

Jadi, nilai dari $x \cdot y = 3 \cdot (-5) = -15$.

Jawaban: (C) $-15$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Di sini mungkin pikiran kalian adalah mencari $x$ dan $y$ terlebih dahulu, lalu kemudian mencari nilai $11x - y$. Tetapi, kalau kalian perhatikan lebih detail, kita sebenarnya bisa langsung menjumlahkan kedua persamaannya lo:

$$ \begin{array}{rcrclr} 2x & - & 5y & = & -7 & 9x & + & 4y & = & 10 & + \hline 11x & - & y & = & 3 & \end{array} $$

Jadi, nilai dari $11x - y = 3$.

Jawaban: (A) $3$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Jika kalian perhatikan lebih detail, kalian bisa menjumlahkan langsung kedua persamaan lo:

$$ \begin{array}{rcrclr} 3x & + & 7y & = & 15 & 7x & + & 3y & = & 85 & + \hline 10x & + & 10y & = & 100 & : 10 \hline x & + & y & = & 10 & \end{array} $$

Jawaban: (C) $10$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Di sini, kita samakan koefisien $x$. Jika persamaan pertama kita kali 2, akan didapatkan $4x - 10y = 2$. Mengurangi persamaan ini dengan persamaan kedua, kita punyai

$$ \begin{array}{rcrclr} 4x & - & 10y & = & 2 & 4x & - & 3y & = & -5 & - \hline & & -7y & = & 7 & & & y & = & -1 & \end{array} $$

Selanjutnya, substitusi nilai $y = -1$ ini ke persamaan pertama, sehingga akan didapatkan

$$ 2x - 5\left(-1\right) = 1 $$

$$ 2x + 5 = 1 $$

$$ 2x = -4 $$

$$ x = -2 $$

Jadi, $x = -2$ dan $y = -1$ sehingga himpunan penyelesaiannya adalah $\set{(-2, -1)}$.

Jawaban: (C) $\set{(-2, -1)}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Di sini, kita samakan koefisien $y$. Jika persamaan kedua kita kali 3, akan didapatkan $6x + 3y = 45$. Menjumlahkan persamaan pertama dengan persamaan baru ini, kita punyai

$$ \begin{array}{rcrclr} 5x & - & 3y & = & -1 & 6x & + & 3y & = & 45 & + \hline 11x & & & = & 44 & x & & & = & 4 & \end{array} $$

Selanjutnya, substitusi nilai $x = 4$ ini ke persamaan kedua, sehingga akan didapatkan

$$ 2 \cdot 4 + y = 15 $$

$$ 8 + y = 15 $$

$$ y = 7 $$

Jadi, $x = 4$ dan $y = 7$ sehingga nilai dari $x + y = 4 + 7 = 11$.

Jawaban: (C) $11$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Pertama, kita hilangkan pecahannya terlebih dahulu.

Persamaan pertama kita kali 10:

$$ \begin{array}{rcrclr} \dfrac{1}{2}p & + & \dfrac{3}{5}q & = & 1 \dfrac{3}{10} & \times\\ 10 \hline 5p & + & 6q & = & 13 & \end{array} $$ \tag{$\ast$} $$ Persamaan kedua kita kali 9: \begin{array}{rcrclr} -\dfrac{5}{3}p & + & \dfrac{1}{9}q & = & 2 & \times\\ 9 \\ \hline -15p & + & q & = & 18 & \end{array} \tag{$\ast\ast$} $$

Sekarang, kita kalikan persamaan ($\ast$) dengan 3 agar koefisien $p$ di kedua persamaan bernilai sama. Oleh karena itu, persamaan ($\ast$) akan menjadi $15p + 18q = 39$. Menjumlahkan persamaan ini dengan persamaan ($\ast\ast$), kita akan dapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} 15p & + & 18q & = & 39 & -15p & + & q & = & 18 & + \hline & & 19q & = & 57 & & & q & = & 3 & \end{array} $$

Selanjutnya, substitusi nilai $q = 3$ ini ke persamaan ($\ast$), sehingga akan didapatkan

$$ 5p + 6(3) = 13 $$

$$ 5p + 18 = 13 $$

$$ 5p = -5 $$

$$ p = -1 $$

Jadi, $a = -1$ dan $b = 3$ sehingga $a^2 + b^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.

Jawaban: (A) $10$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Kalau kalian langsung mengerjakan soal ini, kalian bakal kesulitan!

Triknya adalah pemisalan. Di sini, kita misalkan $a = \dfrac{1}{X}$ dan $b = \dfrac{1}{Y}$ sehingga sistem persamaannya akan menjadi

$$ \begin{cases} a - 2b = 4 3a - 4b = 13 \end{cases} $$

Jika persamaan pertama kita kali 2, akan didapatkan $2a - 4b = 8$. Oleh karena itu, mengurangi persamaan ini dengan persamaan kedua, kita akan memperoleh

$$ \begin{array}{rcrclr} 2a & - & 4b & = & 8 & 3a & - & 4b & = & 13 & - \hline -a & & & = & -5 & a & & & = & 5 & \end{array} $$

Selanjutnya, substitusi nilai $a = 5$ ini ke persamaan pertama, sehingga akan didapatkan

$$ 5 - 2b = 4 $$

$$ -2b = -1 $$

$$ b = \frac{1}{2} $$

Karena kedua variabel $a$ dan $b$ sudah didapatkan, kita harus balikkan kembali ke $X$ dan $Y$. Di sini, kita punyai $5 = \dfrac{1}{X}$ sehingga $X = \dfrac{1}{5}$. Selain itu, kita juga punyai $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{Y}$ sehingga $Y = 2$.

Jadi, nilai dari $10X + Y = 10\left(\dfrac{1}{5}\right) + 2 = 2 + 2 = 4$.

Jawaban: (A) $4$

Di sini, kita misalkan $a = \dfrac{1}{m + n}$ dan $b = \dfrac{1}{2m - n}$ sehingga sistem persamaannya akan menjadi

$$ \begin{cases} -3a + 2b = -1 7a - 6b = 1 \end{cases} $$

Tanpa perlu menyelesaikan sistem persamaannya, sebenarnya kalian bisa menebak dengan mudah bahwa $a = 1$ dan $b = 1$ memenuhi sistem persamaan tersebut. Oleh karena itu,

$$ 1 = \dfrac{1}{m + n} \implies m + n = 1 $$

dan

$$ 1 = \dfrac{1}{2m - n} \implies 2m - n = 1 $$

Karena yang ingin dicari adalah nilai dari $m - 2n$, selanjutnya kita akan menyelesaikan sistem persamaan

$$ \begin{cases} m + n = 1 2m - n = 1 \end{cases} $$

atau....

Kita langsung saja mengurangi persamaan kedua ke persamaan pertama:

$$ \begin{array}{rcrclr} 2m & - & n & = & 1 & m & + & n & = & 1 & - \hline m & - & 2n & = & 0 & \end{array} $$

Ingat, mata kalian harus jeli untuk melihat SPLDV. Biasanya pembuat soal sengaja membuat soal seperti ini!

Jawaban: (C) $0$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Fokus terlebih dahulu untuk menyelesaikan dua persamaan pertama. Jika persamaan pertama kita kali 2 dan persamaan kedua kita kali 3, akan didapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} 4x & + & 6y & = & 24 & 9x & - & 6y & = & 15 & + \hline 13x & & & = & 39 & x & & & = & 3 & \end{array} $$

Mensubstitusi $x = 3$ ke persamaan kedua, akan didapatkan

$$ 3(3) - 2y = 5 $$

$$ 9 - 2y = 5 $$

$$ -2y = -4 $$

$$ y = 2 $$

Karena kita sudah mendapatkan nilai $x$ dan $y$, selanjutnya kita substitusikan ke dua persamaan terakhir. Kita akan mendapatkan sistem persamaan

$$ \begin{array}{rcrclr} 3a & + & 2b & = & 16 & 3a & - & 2b & = & 8 & + \hline 6a & & & = & 24 & a & & & = & 4 & \end{array} $$

Mensubstitusi $a = 4$ ke persamaan pertama, akan didapatkan

$$ 3(4) + 2b = 16 $$

$$ 12 + 2b = 16 $$

$$ 2b = 4 $$

$$ b = 2 $$

Jadi, nilai dari $a - b = 4 - 2 = 2$.

Jawaban: (D) $2$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Teori Dasar

Dalam SPLDV yang diberikan, terdapat dua persamaan: $ax + by = c$ dan $px + qy = r$. Kedua persamaan ini berbentuk garis.

SPLDV tersebut memiliki tiga kemungkinan solusi: (1) tidak ada solusi sama sekali, (2) memiliki tepat satu solusi, dan (3) memiliki tak berhingga banyaknya solusi.

Kondisi (1) terjadi ketika dua persamaan pada SPLDV sejajar. Dua garis dikatakan sejajar jika keduanya memiliki gradien yang sama. Dalam bahasa matematika, kita bisa menuliskan $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}$ dan juga keduanya tidak sama dengan $\dfrac{c}{r}$.

Kondisi (2) terjadi ketika dua persamaan pada SPLDV berpotongan. Dua garis dikatakan berpotongan jika keduanya memiliki gradien yang berbeda. Dalam bahasa matematika, kita bisa menuliskan $\dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q}$.

Kondisi (3) terjadi ketika dua persamaan pada SPLDV saling berimpitan. Dua garis dikatakan berimpitan jika keduanya sejajar sekaligus menyentuh satu sama lain. Ini hanya bisa terjadi ketika $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r}$.

Analisis Pernyataan

Pernyataan A

❌ jika $\dfrac{a}{b} = \dfrac{p}{q}$ maka SPLDV tidak memiliki solusi

Pernyataan ini jelas salah. Coba saja $a = b = p = q = 1$. Kedua persamaan pada SPLDV akan berbentuk $x + y = c$ dan $x + y = q$, yang bisa saja memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian (terutama bila $c = q$).

Pernyataan B

✅ jika $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r}$ maka SPLDV memiliki tak berhingga banyaknya solusi

Pernyataan ini benar sesuai dengan kondisi (3).

Pernyataan C

✅ jika $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r}$ maka SPLDV tidak memiliki solusi

Pernyataan ini benar sesuai dengan kondisi (1).

Pernyataan D

✅ jika $\dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q}$ maka SPLDV memiliki tepat satu solusi

Pernyataan ini benar sesuai dengan kondisi (2).

Jawaban: (B), (C), (D)

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Opsi (A), (C), (D) jelas benar.

Opsi (B) belum pasti benar karena bisa saja grafik dari kedua persamaan tersebut berimpitan. Jika hal ini terjadi, maka akan terdapat tak berhingga banyaknya penyelesaian antara kedua persamaan.

Jawaban: (B) titik $(x_0, y_0)$ merupakan satu-satunya titik perpotongan antara kedua persamaan

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Teori Dasar

Persamaan $ax + by = c$ berbentuk garis. Karena tidak ada kondisi lain, setiap titik yang berada pada garis tersebut merupakan solusi. Karena terdapat tak berhingga banyaknya titik pada suatu garis, maka akan terdapat tak berhingga banyaknya solusi. Untuk referensi, coba lihat soal 3.

Analisis Tiap Pernyataan

Pernyataan 1

✅ SPLDV dengan bentuk ini selalu memiliki tak berhingga banyaknya solusi.

Pernyataan ini jelas BENAR.

Pernyataan 2

✅ Untuk setiap bilangan real $k$, jika $c = 0$ dan $(x_0, y_0)$ merupakan solusi maka $(kx_0, ky_0)$ juga merupakan solusi.

Jika $c = 0$ maka persamaannya akan menjadi $ax + by = 0$. Selain itu, jika $(x_0, y_0)$ merupakan solusi, maka $ax_0 + by_0 = 0$. Mengalikan kedua ruas dengan $k$, kita akan mendapatkan $a(kx_0) + b(ky_0) = 0$. Artinya, $(kx_0, ky_0)$ juga merupakan solusi dari persamaan tersebut.

Oleh karena itu, pernyataan ini jelas BENAR.

Pernyataan 3

✅ Untuk setiap bilangan real $k \neq 0$, jika $(x_0, y_0)$ dan $(x_0 + k, y_0 + k)$ merupakan solusi maka $a = -b$.

Jika $(x_0, y_0)$ merupakan solusi maka $ax_0 + by_0 = c$. Selain itu, jika $(x_0 + k, y_0 + k)$ merupakan solusi maka

$$ a(x_0 + k) + b(y_0 + k) = c $$

$$ ax_0 + ak + by_0 + bk = c $$

$$ \underbrace{ax_0 + by_0}_{\mathrm{ingat, ini $c$}} + k(a + b) = c $$

$$ \cancel{c} + k(a + b) = \cancel{c} $$

$$ \cancel{k}(a + b) = 0 $$

$$ a + b = 0 $$

$$ a = -b $$

Oleh karena itu, pernyataan ini jelas BENAR.

Jawaban: Pernyataan 1, 2, 3 seluruhnya BENAR.

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

SPLDV tersebut akan memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian jika

$$ \frac{m}{2} = \frac{3}{-n} = \frac{2}{7}. $$

Oleh karena itu, haruslah

$$ \frac{m}{2} = \frac{2}{7} $$

$$ 7m = 4 $$

$$ m = \frac{4}{7} $$

dan juga

$$ \frac{3}{-n} = \frac{2}{7} $$

$$ -2n = 21 $$

$$ n = -\frac{21}{2} $$

Jawaban: (C) $m = \dfrac{4}{7}$ dan $n = -\dfrac{21}{2}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Agar sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi, haruslah

$$ \frac{a - 2}{15 - 2a} = \frac{3}{5} $$

$$ 5(a - 2) = 3(15 - 2a) $$

$$ 5a - 10 = 45 - 6a $$

$$ 5a + 6a = 45 + 10 $$

$$ 11a = 55 $$

$$ a = 5 $$

Jawaban: (A) $5$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Analisis Tiap Opsi

✅ Opsi A

Perhatikan bahwa $\dfrac{2}{5} \neq \dfrac{-3}{4}$. Oleh karena itu, SPLDV ini memiliki tepat satu solusi.

✅ Opsi B

Perhatikan bahwa $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{-4}{6}$. Oleh karena itu, SPLDV ini memiliki tepat satu solusi.

❌ Opsi C

Perhatikan bahwa $\dfrac{-1}{2} = \dfrac{3}{-6}$ (jika disederhanakan, keduanya sama saja dengan -0,5). Oleh karena itu, SPLDV ini tidak memiliki solusi tunggal.

✅ Opsi D

Di sini, kita bisa anggap koefisien $y$ untuk persamaan pertama bernilai 0 (anggap seperti $0y$). Perhatikan bahwa $\dfrac{11}{2} \neq \dfrac{0}{3}$. Oleh karena itu, SPLDV ini memiliki tepat satu solusi.

Jawaban: (A), (B), (D)

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Analisis Tiap Opsi

Opsi A

❌ $a = 2$, $b = -3$

Di sini, kalian akan mendapatkan $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{2}{-2} = -1$ dan $\dfrac{b}{3} = \dfrac{-3}{3} = -1$. Artinya, $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{b}{-3}$ sehingga SPLDV yang terbentuk tidak memiliki solusi tunggal.

Oleh karena itu, opsi ini SALAH.

Opsi B

❌ $a = -\dfrac{1}{2}$, $b = \dfrac{3}{4}$

Di sini, kalian akan mendapatkan $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{-\frac{1}{2}}{-2} = \dfrac{1}{4}$ dan $\dfrac{b}{3} = \dfrac{\frac{3}{4}}{3} = \dfrac{1}{4}$. Artinya, $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{b}{-3}$ sehingga SPLDV yang terbentuk tidak memiliki solusi tunggal.

Oleh karena itu, opsi ini SALAH.

Opsi C

✅ $a = 6$, $b = 9$

Di sini, kalian akan mendapatkan $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{6}{-2} = -3$ dan $\dfrac{b}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$. Artinya, $\dfrac{a}{-2} \neq \dfrac{b}{-3}$ sehingga SPLDV yang terbentuk memiliki tepat satu solusi.

Oleh karena itu, opsi ini BENAR.

Opsi D

❌ $a = 4k$, $b = -6k$ untuk suatu bilangan real positif $k$

Di sini, kalian akan mendapatkan $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{4k}{-2} = -2k$ dan $\dfrac{b}{3} = \dfrac{-6k}{3} = -2k$. Artinya, $\dfrac{a}{-2} = \dfrac{b}{-3}$ sehingga SPLDV yang terbentuk tidak memiliki solusi tunggal.

Oleh karena itu, opsi ini SALAH.

Jawaban: (C)

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

SPLDV tersebut memiliki tak berhingga banyaknya solusi jika

$$ \frac{a - 3}{2b - 1} = \frac{18b}{a} = \frac{3}{1}. \tag{*} $$

Karena penyebut tidak boleh nol, maka di sini terdapat syarat $2b - 1 \neq 0$ dan $a \neq 0$.

Oleh karena itu, kita cek terlebih dahulu apa yang akan terjadi apabila $2b - 1 = 0$ atau $a = 0$.

Kondisi 1: $2b - 1 = 0$ atau $a = 0$

Di sini, cukup cek $2b - 1 = 0$. Kondisi ini sama saja dengan mengatakan bahwa $b = \dfrac{1}{2}$. Mensubstitusikan nilai $b$ ini ke SPLDV asal, kita akan mendapatkan sistem persamaan

$$ \begin{cases} (a - 3)x + 18 \cdot \dfrac{1}{2}y = 3 \\[3pt] \left(2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1\right)x + ay = 1 \end{cases} $$

yang bisa kita sederhanakan lebih lanjut menjadi

$$ \begin{cases} (a - 3)x + 9y = 3 ay = 1 \end{cases} $$ \tag{**} $$ Ketika $a = 0$, persamaan kedua akan menjadi $0 = 1$ yang jelas kontradiksi. Oleh karena itu, $a = 0$ dan $b = \dfrac{1}{2}$ membuat SPLDV tidak memiliki solusi bermakna. Ketika $a \neq 0$, pilih saja $a = 1$ (atau angka apapun sembarang terserah kalian), persamaan kedua (\*\*) akan menjadi $y = 1$. Oleh karena itu, persamaan pertama (\*\*) bisa ditulis sebagai $$ (1 - 3)x + 9(1) = 3 $$ $$ -2x + 9 = 3 $$ $$ -2x = -6 $$ $$ x = -3 $$ Artinya, ketika $a = 1$ dan $b = \dfrac{1}{2}$, SPLDV tersebut akan memiliki solusi tunggal, yakni $(-3, 1)$. Dari sini, kita sudah bisa membuat SPLDV tersebut **tidak memiliki solusi** dan juga **memiliki solusi tunggal**. Oleh karena itu, **pernyataan (2) dan (3) BENAR**. ### Kondisi 2: $2b - 1 \neq 0$ dan $a \neq 0$ Dari persamaan (\*), kita akan mendapatkan $$ \frac{a - 3}{2b - 1} = \frac{3}{1} $$ $$ a - 3 = 3(2b - 1) $$ $$ a - 3 = 6b - 3 $$ $$ a = 6b $$ dan juga $$ \frac{18b}{a} = \frac{3}{1} $$ $$ 18b = 3a $$ $$ a = 6b $$

Di sini, mungkin kalian bingung karena kita tidak bisa mencari $a$ dan $b$ dengan pasti (karena kedua persamaan yang didapatkan sama persis). Tetapi, dari persamaan $a = 6b$ yang kita dapatkan, kalian bisa pilih $a$ dan $b$ apapun, asal memenuhi $a = 6b$. Agar mudah, kita pilih $a = 6$ dan $b = 1$. Mensubstitusikan ke SPLDV asal, kita akan mendapatkan

$$ \begin{cases} (6 - 3)x + 18 \cdot 1y = 3 (2 \cdot 1 - 1)x + 6y = 1 \end{cases} $$

yang bisa kita sederhanakan menjadi

$$ \begin{cases} 3x + 18y = 3 x + 6y = 1 \end{cases} $$

Perhatikan bahwa $\dfrac{3}{1} = \dfrac{18}{6} = \dfrac{3}{1}$. Artinya, jika kita pilih $a = 6$ dan $b = 1$, SPLDV tersebut memiliki tak berhingga banyaknya solusi.

Oleh karena itu, pernyataan (1) BENAR.

Jawaban: (1), (2), (3) BENAR.

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Agar SPLDV tersebut tidak memiliki solusi, haruslah

$$ \frac{4}{2} = \frac{-(1 - 3b)}{a} $$

$$ 2 = \frac{3b - 1}{a} $$

$$ 2a = 3b - 1 $$

Artinya, seluruh pasangan $(a, b)$ harus memenuhi $2a = 3b - 1$. Di sini, langsung saja kita cek substitusi untuk setiap opsi jawaban.

Mengecek setiap opsi

Opsi A

❌ $(3k - 1, 2k - 1)$ untuk seluruh bilangan real $k$ kecuali $k = -2$

Jika kita substitusi $a = 3k - 1$ dan $b = 2k - 1$ pada persamaan $2a = 3b - 1$, kita akan mendapatkan

$$ 2(3k - 1) = 3(2k - 1) - 1 $$

$$ \cancel{6k} - 2 = \cancel{6k} - 3 - 1 $$

$$ -2 = -4 $$

yang jelas tidak mungkin bisa terjadi.

Oleh karena itu, opsi ini SALAH.

Opsi B

❌ $(4 - 3k, 3 - 2k)$ untuk seluruh bilangan real $k$ kecuali $k = -\dfrac{13}{6}$

Jika kita substitusi $a = 4 - 3k$ dan $b = 3 - 2k$ pada persamaan $2a = 3b - 1$, kita akan mendapatkan

$$ 2(4 - 3k) = 3(3 - 2k) - 1 $$

$$ 8 \cancel{- 6k} = 9 \cancel{- 6k} - 1 $$

$$ 8 = 8 $$

yang jelas akan selalu benar.

Tetapi, mengapa opsi ini SALAH? Coba perhatikan kembali syarat agar SPLDV tidak memiliki solusi. Meskipun $\dfrac{4}{2} = \dfrac{-(1 - 3b)}{a}$, tetapi keduanya tidak boleh sama dengan $\dfrac{-3}{a + 1}$.

Ketika ketiganya sama, yang terjadi adalah SPLDV tersebut akan memiliki tak berhingga banyaknya solusi. Mensubstitusikan $a = 4 - 3k$, kondisi ini akan terjadi ketika

$$ \frac{4}{2} = \frac{-3}{a + 1} $$

$$ 2 = \frac{-3}{4 - 3k + 1} $$

$$ 2(5 - 3k) = -3 $$

$$ 10 - 6k = -3 $$

$$ -6k = -13 $$

$$ k = \frac{13}{6} $$

Artinya, syarat bahwa $a = 4 - 3k$ dan $b = 3 - 2k$ masih belum cukup, tetapi harus ditambah lagi syarat bahwa $k \neq \dfrac{13}{6}$. Tetapi, opsi B ini menyatakan bahwa syarat tambahannya $k \neq -\dfrac{13}{6}$ yang jelas SALAH.

Oleh karena itu, opsi ini SALAH.

Opsi C

✅ $(3k + 1, 2k + 1)$ untuk seluruh bilangan real $k$ kecuali $k = -\dfrac{7}{6}$

Jika kita substitusi $a = 3k + 1$ dan $b = 2k + 1$ pada persamaan $2a = 3b - 1$, kita akan mendapatkan

$$ 2(3k + 1) = 3(2k + 1) - 1 $$

$$ \cancel{6k} + 2 = \cancel{6k} + 3 - 1 $$

$$ 2 = 2 $$

yang jelas akan selalu benar.

Dengan menggunakan argumen yang sama seperti pada opsi B, kita akan mendapatkan

$$ \frac{4}{2} = \frac{-3}{a + 1} $$

$$ 2 = \frac{-3}{3k + 1 + 1} $$

$$ 2(3k + 2) = -3 $$

$$ 6k + 4 = -3 $$

$$ 6k = -7 $$

$$ k = -\frac{7}{6} $$

Artinya, syarat tambahannya adalah $k \neq -\dfrac{7}{6}$ yang jelas sesuai dengan opsi C ini.

Oleh karena itu, opsi ini BENAR.

Opsi D

❌ $(1 - k, 5 - 2k)$ untuk seluruh bilangan real $k$ kecuali $k = -\dfrac{1}{2}$

Jika kita substitusi $a = 1 - k$ dan $b = 5 - 2k$ pada persamaan $2a = 3b - 1$, kita akan mendapatkan

$$ 2(1 - k) = 3(5 - 2k) - 1 $$

$$ 2 - 2k = 15 - 6k - 1 $$

$$ 2 - 2k = 14 - 6k $$

$$ 6k - 2k = 14 - 2 $$

$$ 4k = 12 $$

$$ k = 3 $$

Artinya, tidak seluruh bilangan real $k$ memenuhi, hanya $k = 3$ saja yang memenuhi.

Oleh karena itu, opsi ini SALAH.

Jawaban: (C) $(3k + 1, 2k + 1)$ untuk seluruh bilangan real $k$ kecuali $k = -\dfrac{7}{6}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Langkah 1: Memisalkan Variabel

Misalkan bilangan bulat pertama adalah $a$ dan bilangan bulat kedua adalah $b$. Di sini, kita misalkan $a > b$.

Langkah 2: Membuat SPLDV

Ketika dua bilangan bulat tersebut dijumlahkan, hasilnya adalah 50. Oleh karena itu, $a + b = 50$.

Ketika dua bilangan bulat tersebut dikurangkan, hasilnya adalah 26. Oleh karena itu, $a - b = 26$.

Dari dua persamaan ini, dapat dibentuk SPLDV

$$ \begin{cases} a + b = 50 a - b = 26 \end{cases} $$

Langkah 3: Menyelesaikan SPLDV

Mengurangi kedua persamaan, kita akan mendapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} a & + & b & = & 50 & a & - & b & = & 26 & - \hline & & 2b & = & 24 & & & b & = & 12 & \end{array} $$

Selanjutnya, substitusi $b = 12$ pada persamaan pertama sehingga akan didapatkan

$$ a + 12 = 50 $$

$$ a = 38 $$

Oleh karena itu, nilai dari $a \cdot b = 38 \cdot 12 = 456$.

Jawaban: (B) $456$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Langkah 1: Memisalkan Variabel

Misalkan uang Adi adalah $A$ dan uang Budi adalah $B$.

Langkah 2: Membuat SPLDV

Karena uang Adi dua kali lebih banyak dari uang Budi, maka $A = 2B$.

Karena jumlah uang mereka berdua adalah Rp120.000,00, maka $A + B = 120.000$.

Dari dua persamaan ini, dapat dibentuk SPLDV

$$ \begin{cases} A = 2B A + B = 120.000 \end{cases} $$

Langkah 3: Menyelesaikan SPLDV

Mensubstitusikan persamaan pertama ke dalam persamaan kedua, kita akan mendapatkan

$$ 2B + B = 120.000 $$

$$ 3B = 120.000 $$

$$ B = 40.000 $$

Selanjutnya, mensubstitusikan nilai $B = 40.000$ pada persamaan pertama, kita akan mendapatkan

$$ A = 2 \cdot 40.000 = 80.000 $$

Oleh karena itu, selisih uang mereka berdua adalah

$$ A - B = 80.000 - 40.000 = 40.000. $$

Jawaban: (B) Rp40.000,00

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Karena harga 4 ekor sapi dan 3 ekor kambing adalah Rp105.500.000,00, maka $4x + 3y = 105.500.000$.

Karena harga 2 ekor sapi dan 5 ekor kambing adalah Rp68.500.000,00, maka $2x + 5y = 68.500.000$.

Dari dua persamaan tersebut, dapat dibentuk SPLDV

$$ \begin{cases} 4x + 3y = 105.500.000 2x + 5y = 68.500.000 \end{cases} $$

Jawaban: (C) $\begin{cases} 4x + 3y = 105.500.000 \\ 2x + 5y = 68.500.000 \end{cases}$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Langkah 1: Memisalkan Variabel

Misalkan harga satuan penggaris adalah $x$ dan harga satuan penghapus adalah $y$.

Langkah 2: Membuat SPLDV

Karena harga 3 penggaris dan 2 penghapus adalah Rp50.000,00, maka $3x + 2y = 50.000$.

Karena harga 1 penggaris dan 3 penghapus adalah Rp33.000,00, maka $x + 3y = 33.000$.

Dari dua persamaan tersebut, dapat dibentuk SPLDV

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 50.000 x + 3y = 33.000 \end{cases} $$

Langkah 3: Menyelesaikan SPLDV

Perhatikan bahwa Mas Narji ingin membeli 4 penggaris dan 5 penghapus. Oleh karena itu, yang dicari adalah nilai dari $4x + 5y$. Ini bisa kita dapatkan hanya dengan menjumlahkan kedua persamaan lo 😹

$$ \begin{array}{rcrclr} 3x & + & 2y & = & 50.000 & x & + & 3y & = & 33.000 & + \hline 4x & + & 5y & = & 83.000 & \end{array} $$

Jadi, total yang harus Mas Narji bayar untuk membeli 4 penggaris dan 5 penghapus adalah Rp83.000,00.

Jawaban: (D) Rp83.000,00

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Langkah 1: Memisalkan Variabel

Misalkan $B$ umur Budi saat ini dan $D$ umur Dirga saat ini.

Langkah 2: Membuat SPLDV

Karena pada tahun ini Dirga berusia 8 tahun lebih tua dari Budi, maka $D = B + 8$.

Jika saat ini usia mereka $B$ dan $D$, maka empat tahun yang lalu usia mereka adalah $B - 4$ dan $D - 4$. Karena empat tahun yang lalu jumlah umur mereka adalah 42, maka

$$ (B - 4) + (D - 4) = 42 $$

$$ B + D - 8 = 42 $$

$$ B + D = 50 $$

Dari dua persamaan tersebut, dapat dibentuk SPLDV

$$ \begin{cases} D = B + 8 B + D = 50 \end{cases} $$

Langkah 3: Menyelesaikan SPLDV

Mensubstitusikan persamaan pertama pada persamaan kedua, kita akan mendapatkan

$$ B + (B + 8) = 50 $$

$$ 2B + 8 = 50 $$

$$ 2B = 42 $$

$$ B = 21 $$

Oleh karena itu, usia Budi saat ini adalah 21.

Artinya, usia Budi tahun depan adalah 22.

Jawaban: (D) $22$

Gimana, apakah jawaban kalian benar?

Langkah 1: Memisalkan Variabel

Misalkan $X$ usia Xavier saat ini dan $Y$ usia Yuyun saat ini.

Langkah 2: Membuat SPLDV

Jika pada saat ini usia mereka $X$ dan $Y$, maka tiga tahun lagi usia mereka adalah $X + 3$ dan $Y + 3$. Karena tiga tahun yang akan datang usia Xavier $\dfrac{3}{2}$ kalinya usia Yuyun, maka

$$ X + 3 = \frac{3}{2}(Y + 3) $$

$$ 2X + 6 = 3Y + 9 $$

$$ 2X - 3Y = 3 $$

Lebih lanjut, jika pada saat ini usia mereka $X$ dan $Y$, maka tujuh tahun yang lalu usia mereka adalah $X - 7$ dan $Y - 7$. Karena tujuh tahun yang lalu, usia Xavier lima kurangnya dari dua kali usia Yuyun, maka

$$ X - 7 = 2(Y - 7) - 5 $$

$$ X - 7 = 2Y - 14 - 5 $$

$$ X - 7 = 2Y - 19 $$

$$ X - 2Y = -12 $$

Dari dua persamaan tersebut, dapat dibentuk SPLDV

$$ \begin{cases} 2X - 3Y = 3 X - 2Y = -12 \end{cases} $$

Langkah 3: Menyelesaikan SPLDV

Di sini, kita berencana untuk mengeliminasi $X$. Jika persamaan kedua kita kali 2, akan didapatkan $2X - 4Y = -24$. Mengurangi persamaan pertama dengan persamaan ini, kita akan mendapatkan

$$ \begin{array}{rcrclr} 2X & - & 3Y & = & 3 & 2X & - & 4Y & = & -24 & - \hline & & Y & = & 27 & \end{array} $$

Mensubstitusikan nilai $Y = 27$ ini pada persamaan kedua asal, kita dapatkan

$$ X - 2(27) = -12 $$

$$ X - 54 = -12 $$

$$ X = 42 $$

Oleh karena itu, usia Xavier dan Yuyun saat ini adalah 42 dan 27.

Langkah 4:

Mencari kapan usia Xavier tepat dua kalinya usia Yuyun

Misalkan perlu waktu $t$ tahun agar usia Xavier dua kali usia Yuyun. Di sini, kita ingin mencari $t$ yang memenuhi

$$ 42 + t = 2(27 + t) $$

$$ 42 + t = 54 + 2t $$

$$ t = -12 $$

Artinya, usia Xavier tepat dua kalinya usia Yuyun pada 12 tahun yang lalu.

Agar lebih jelas, coba kita cek apakah benar 12 tahun yang lalu usia Xavier tepat dua kalinya usia Yuyun.

Karena usia Xavier saat ini adalah 42, maka 12 tahun yang lalu usianya adalah 30. Di sisi lain, karena usia Yuyun saat ini adalah 27, maka 12 tahun yang lalu usianya adalah 15. Perhatikan bahwa $15 \cdot 2 = 30$ sehingga jawaban kita benar.

Karena diasumsikan tahun ini adalah 2025, maka 12 tahun yang lalu adalah tahun 2013.

Jawaban: (A) tahun 2013

Gimana, apakah jawaban kalian benar?